통계12 [시계열 분석] 자기회귀모형 (AR; Autoregressive model) (2) 이전 포스팅에서 AR(1)모형의 정의와 성질에 대해 다뤘다. 이를 일반화시킨 AP(p)과정의 정의와 성질에 대해 살펴보려고 한다. AR(p) 모형은 시계열 $y_{t}$를 설명하는데 $y_{t-1},\, y_{t-2},...,y_{t-p}$가 정보를 가지고 있고 $y_{t-p}$이후의 값은 지수적으로 감소하는 정보를 가지는 형태다. 우선 AR(p)의 모형은 다음과 같이 정의된다. $$y_{t} = \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + a_{t} \tag{1}$$ AR(1)모형과 마찬가지로 평균과 관련된 모수는 demeaned process에 의해 평균을 0으로 조절할 수 있고 변동성엔 영향을 미치지 않으므로 없다고 가정한다. 자기.. 2022. 8. 14. [시계열 분석] 자기회귀모형 (AR; Autoregressive Model) (1) AR(1) 모형 시계열 데이터 $y_{t}$를 설명하는데 있어 과거의 모든 시점 t-1, t-2, ... 의 정보를 이용하는건 자연스러운 가정이라 할 수 있다. 이런 가정을 모형화한게 자기회귀모형 (AR; Autoregressive model)이다. 자기회귀모형은 차수 $p$와 함께 AR(p)로 나타낸다. 이번 포스팅에서는 AR(p)모형의 특별한 경우인 AR(1)의 모형을 살펴볼 것이다. 우선 AR(1)의 경우 다음과 같이 정의된다. $E[y_{t}]=\mu$인 경우의 모형 : $$ y_{t} = \theta_{0} + \phi_{1}y_{t-1} + a_{t} \tag{1}$$ $E[y_{t}]=0$인 경우의 모형 : $$ y_{t} = \phi_{1}y_{t-1} + a_{t} \tag{2}$$ 여기.. 2022. 8. 13. [시계열 분석] 자기상관함수(ACF)와 부분자기상관함수(PACF) 자기상관함수(ACF; Autocorrelation function)와 부분 자기상관함수(PACF; Partial Autocorrelation function)는 어려운 개념은 아니지만 ARMA(p,q)모형의 차수를 식별하는데 중요한 정보를 제공하고 잔차분석에도 사용되기 때문에 한 번 정리하고 넘어가보려고 한다. 우선 자기상관함수와 부분자기상관함수는 다음과 같이 정의된다. ACF : $\rho_{k} = Corr(y_{t}, \, y_{t-k})$ PACF : $\phi_{kk} = Corr(y_{t}, \, y_{t-k} | y_{t-k+1},...,y_{t-1})$ 수식이 어렵지 않아 두 함수가 어떤 의미를 가지는 이해하는데 큰 어려움이 없다. ACF의 경우 두 시점의 단순 자기상관계수이며, PACF는.. 2022. 8. 12. [시계열 분석] 정상성(Stationary)이란? 시계열이 정상성(Stationary)을 가진다고 하면 다음 세 조건을 만족하는 경우를 말한다. $E(y_{t}) = \mu \quad ^{\forall} t$ $Var(y_{t}) = \sigma^{2} \, \quad ^{\forall} t$ $Cov(y_{t},\, y_{t+k})=\gamma(|k|) $ 처음 정상성이라는 개념을 접했을 때 조건 1,2를 받아들이는데는 큰 어려움이 없다. 시계열 데이터가 증가하거나 감소하는 추세(Trend)가 아닌 모든 시간 $t$에 대해 데이터가 일정한 범위 내에 속하기만 하면 되기 때문이다. 하지만 3의 조건은 단순히 수식으로만 보면 잘 받아들여지지 않았다. 3의 조건을 말로 쓰자면 "두 시점 사이의 자기공분산은 시차(TIme lag) $k$에 대한 함수이다." .. 2022. 8. 12. 이전 1 2 3 다음
