[시계열 분석] 결정적 추세와 확률적 추세

추세는 크게 결정적 추세(DT; Deterministic Trend)와 확률적 추세(ST; Stochastic Trend)로 나뉜다. 결정적 추세는 시간 t에 의존하는 추세를 말하고 확률적 추세는 시간 t와 관계없이 확률에 의해 생기는 추세를 말한다. 결정적 추세를 가지는 모형과 확률적 추세를 가지는 모형의 예시를 살펴보자.

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• 결정적 추세의 예시 (Linear Trend) :

$$y_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}t + a_{t} \tag{1}$$

• 확률적 추세의 예시 (Random Walk) :

$$y_{t} = y_{t-1} + a_{t} \tag{2}$$

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 시계열이 추세를 가질 경우 추세를 분리하거나 제거해서 정상시계열로 만들어야한다. 확률적 추세를 가질 때 차분이라는 과정을 통해 추세를 제거할 수 있다. 결정적 추세를 가질 경우에도 차분을 하면 추세를 제거할 수 있지만 다음과 같은 문제가 발생한다. (1)의 모형을 차분해보자.

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$$ \nabla y_{t}= y_{t}-y_{t-1} = \beta_{0} + a_{t} - a_{t-1} $$

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 추세는 제거되었지만 차분계열이 가역성조건을 위반하게 된다. 이러한 문제를 과대차분(Over-differencing)이라고 부르는데 이름 그대로 차분을 필요 이상으로 했다는 뜻이다. 만약 이렇게 과대차분하여 모형을 적합하게 되면 예측 신뢰구간이 넓어져 모형의 성능을 떨어뜨리게 된다. 따라서 모형이 결정적 추세를 가질 경우에는 차분보다는 시간 t를 독립변수로 하는 회귀분석 방법을 사용해야 한다.

 

가정된 모형식을 보며 결정적 추세와 확률적 추세를 구분하는 것은 간단하다. 하지만 데이터분석에서 가정된 모형은 오직 신만이 알고 있다. 우리는 DGP(Data Generating Process)를 통해 주어진 데이터로만 두 종류의 추세를 구분할 수 있어야한다. 하지만 시도표(time plot)을 사용해 시각적으로 둘을 구분짓는 것은 어렵고 주관이 담길 수 밖에 없다. 이런 문제는 단위근 검정(Unit root test)을 통해 결정적 추세와 확률적 추세를 객관적으로 구분지을 수 있다.