[시계열 분석] 자기회귀이동평균모형 (ARMA Model)

 AR(p) 모형과 MA(q) 모형을 합친 형태가 ARMA(p,q)모형이라 할 수 있다. ARMA모형에 대해 간단히 살펴보고 지금까지 다뤘던 모형들의 특징들을 요약해보자. 우선 ARMA(p, q)모형 식은 다음과 같다.

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• ARMA(p,q) 모형 :

$$y_{t} = \phi_{1}y_{t-1} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + a_{t} - \theta_{1}a_{t-1} - \cdots - \theta_{q}a_{t-q} $$

• 후행연산자를 사용한 표현 :

$$\phi_{p}(B)y_{t} = \theta_{q}(B)a_{t}$$

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 ARMA(p,q) 모형 역시 $\mu = E[y_{t}]=0$을 가정했다. 지금까지 AR(p)모형과 MA(q)모형을 다룰 땐 자기공분산과 자기상관함수 ACF를 유도했지만 여기서는 생략한다. 내가 공부한 책에서 역시 특별한 경우인 ARMA(1,1)에서만 ACF를 유도했고 산출된 식이 복잡해서 외우는게 크게 의미가 없을 것 같다고 생각했다. ACF와 PACF의 성질을 이용해 ARMA 모형을 식별하는게 최종적인 목표이기에 어떤 성질을 가졌는지만 파악하고 넘어가자. ARMA(p,q)모형에서 sample ACF는 q시차 이후에 지수적으로 감소하는 형태를 가진다. 반면 sample PACF는 p시차 이후에 지수적으로 감소하는 형태를 가진다.

 

 AR, MA, ARMA 모형의 정상성조건과 가역성조건들을 요약 테이블이다.

모형	정상성 조건	가역성조건
AR(1)	$ | \phi_{1} | < 1$	조건 X
MA(1)	조건 X	$ | \theta_{1} | < 1$
AR(p)	$\phi_{p}(B)=0$의 모든 근의 절댓값이 1보다 큼	조건 X
MA(q)	조건 X	$\theta_{p}(B)=0$의 모든 근의 절댓값이 1보다 큼
ARMA(p,q)	AR(p) 모형과 동일	MA(q) 모형과 동일

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 마지막으로 AR, MA, ARMA 모형의 ACF와 PACF 형태를 요약해보자.

• 자기회귀모형 (AR) :

 

• 이동평균모형 (MA) :

• 자기회귀이동평균모형 (ARMA) :